Фундаментальное ограничение математики.

Поскольку противоречие – это 
[А & не-А – то же самое] или [А равно не-А] или [А не равно А], 
то,  подставив вместо А «то же самое», 
в частном случае получим [«то же самое» равно «не то же самое»].

Но именно так, используя противоречие, логика программирования описывает то, 
что не существует «IF (А = не-А) THEN false». Эта запись утверждает то, 
что не существует такое «А», которое было бы «не-А» и не существует такое «не-А», 
которое являлось бы «А».  Поскольку противоречие описывает то, что не существует 
(что не имеет решения или, другими словами, что имеет ноль решений), 
то все парадоксы подпадают под этот формат. Так, парадокс брадобрея, 
цитируя Колмогорова из его книжки о математической логике, звучит как:

«Деревенский парикмахер бреет тех и только тех в своей деревне, кто сам не бреется. 
Бреет ли он себя? Несложное рассуждение показывает, 
что он бреет сам себя тогда и только тогда, когда не бреет себя. 
Как следует реагировать на такую ситуацию? Очень просто. Такого парикмахера не существует»

Итак, выразить то, что не существует, можно следующим образом: 
«ноль А = не существует А = нет А = А равно не-А = А не равно А». 
И, соответственно, то, что существует, можно выразить как: 
«существует А = есть А = А равно А =  ноль равно разности А с собой = один А». 
В логике же программирования, если требуется выразить то, что что-то существует, 
используют запись «IF (А = А) THEN true».

Почему же противоречие является фундаментальным ограничением математики и почему, 
математика не может сформулировать понятие нуля (и, соответственно, единицы), 
несмотря на то, что неявно этими понятиями она все же пользуется? 

Напомню, как единица и ноль трактуются в математике. 
Ноль – это нет хотя бы одного 
(0=|{}| - мощность множества, не содержащего ни одно элемента, равна нулю). 
Один – есть только один элемент в множестве и этот элемент – ноль 
(1=|{0}| - мощность множества, содержащего единственный элемент ноль, равна единице). 

Но, честно говоря, это насмешка над логикой. 
Получается, чтобы дать определение нуля, нужно предварительно дать определение единицы, 
а чтобы определить единицу, изначально нужно определить ноль.
Именно об этой проблеме математики пишет Успенский в статье 
«семь размышлений на темы философии математики»: 
«… по существу, используется то самое понятие натурального числа, 
которое мы еще только собираемся аксиоматически определить». 
Кроме того, такие определения страдают еще одним существенным недостатком – 
они никак не связаны с тем, что именно мы считаем.

Итак, возвращаясь к вопросу, почему же математика не смогла дать определение нуля. 
Она этого не смогла сделать потому, что ее суть – непротиворечивость. 
А ноль – это и есть то самое противоречие, которое она всеми силами пытается избежать. 
Непротиворечиво противоречие не опишешь. Все существо математика, 
воспитанного с молодых ногтей на том, что противоречия должны быть изгнаны из их рая 
(из рая однозначности), противится тому, чтобы помыслить, что 
«ноль – то же самое, что не равно себе«, поскольку он в этом случае должен принять как то, 
что «ноль равен нулю», так и то, что «ноль не равен нулю». «Бред» - кричит он! 
Хотя сам, втихаря и не понимая этого, противоречием все же пользуется. 
Пользуется, прибегая, в частности, к понятию импликации, суть которой в том, 
что из лжи следует как ложь, так и истина. О том же и Гёдель - 
о невозможности описать систему полным образом, не прибегая к противоречию; 
можно описать ее непротиворечиво, но тогда система будет не полна 
(знание о ней будет не истинно). Вот и натуральный ряд 
(этот священный Грааль математики) с иронией об этом же – 
ну, никак не поддается он «правильному» мышлению

Боги и демоны - и их логика.

Когда встретился с Олей, впоследствии ставшей моей женой, 
впервые столкнулся с эзотерикой непосредственно, а не только путем чтения книжек. 
Оля могла почти мгновенно входить в транс, 
передавая сообщения сущностей, которые «по ту сторону». 
И только выйдя из транса, потом читала, что было написано (в стихах) автоматическим письмом.

И из того же времени помню, как, подрабатывая разнорабочим в пекарне, 
принес лоток с хлебом к прилавку, поскольку об этом попросила продавщица. 
И помню ее удивленные глаза, 
поскольку такой необходимости не было и, соответственно, такая просьба не поступала.

Существуют сотни примеров, когда в нас начинают жить (и, причем, жить продолжительно) боги и демоны. 
Их житие можно наблюдать не только внутренне, но и внешне. 
Они могут полностью переподчинить себе наше сознание, говоря другим тембром голоса, 
например, или не давая передвигаться, хватая ноги руками.

Объяснимо ли это? Наблюдая за недавно родившимся ребенком, можно заметить, что его движения порывисты 
- ноги и руки болтаются отдельно друг от друга. а голова не поспевает за перемещениями рук и ног. 
Вообще, кажется, что в нем  не существует единого центра управления, который с годами, 
как правило, появляется. Процесс переподчинения одних частей  другим происходит постепенно.

Возможно ли, что он (осознающий себя центр управления) будет не один?  
Возможно ли, что, однажды возникнув, он столкнется с более могущественным? 
А почему бы и нет? Это возможно, поскольку механизм создания таких частей, осознающих себя, 
такой же по своей природе, как и процесс, что породил когда-то и наше сознание, наше Я.

Боги и демоны - лишь предельный случай изменения частей, достигших уровня сознания.  
Гораздо более часто приходиться встречаться с теми частями, что просто мыслят, 
не понимая, что они мыслят. Именно этим объясняется та роль интуиции, которую мы ей отводим. 
Сознательно, могут даже не подниматься вопросы, решения которых, порой, мы получаем сразу и целиком.

Опять же, из собственного опыта. 
Порой, когда не слишком загружен на работе и достаточно только одной руки, проделываю такой опыт. 
Перестаю управлять левой рукой, относясь к ней как независимому существу. 
И наблюдаю за ней, словно за ребенком после рождения. 
Наблюдаю, как начинают подрагивать сначала пальчики и кисть, 
затем может оторваться от стола локоть и рука повисает в воздухе словно согнувшийся червячок. 
При этом, правой рукой провожу вполне осмысленные действия, 
проверяя работу оборудования Читы и Омска, например, заходя на соответствующие маршрутизаторы.

Психика человека (и не только его) иерархична. 
И ее части, как правило, имеют достаточную степень свободы. 
Более того, свобода воли изначально присуще тому, что мы называем мышлением. 
И присуще тому, из чего мышление возникает - жизни.

P.S. 

Все же, где и как располагаются рожки с ножками, дяденька с бородой,
а так же стихи Пушкина, канарейка, уравнение Эйнштейна и прочее?

Можно ли, образно говоря, вырезать кусочек мозга и сделать вывод,
что канарейка находится именно в этои месте мозга на том основании, 
что после этой операции мозг перестает понимать что есть канарейка
(при допущении, что эту канарейку мы вырезали, не повредив ее)?
Отчасти, но при условии, что понятие канарейка расположено 
только в одном месте, а не в нескольких.

Более сложные случаи хранения имеем 
(при допущении, что понятие канарейки только одно),
если понятие чего-либо, словно кусочки мозаики,
расположены в разных местах мозга. 
А эти маленькие кусочки, соответсвенно,
делятся на более маленькие подкусочки,
которые могут быть распределены, опять же,
в разных местах.

Поскольку любое понятие иерархично, 
разные уровни, к которых сводится понятие,
могут быть (а, скорее всего, так и есть)
расположены в разных местах. И чтобы не быть голослоыным,
сошлюсь на Джорджа Люггера.

Из книги “искусственный интеллект” Джорджа Люггера:
“Из психологии известно, что люди ассоциируют понятия, 
а также иерархически организуют свои знания 
с помощью информации самых верхних уровней классификационной иерархии. 
Коллинс и Квиллиан моделировали хранение информации человеком и управление ее, 
используя семантическую сеть. 

Структура этой иерархии была получена в лаборатории 
в результате тестирования группы людей. 
Субъектам задавались вопросы о различных свойствах птиц, 
такие как “канарейка – это птица” или “канарейка может петь?”

Хотя ответы на эти вопросы, возможно, просты, 
изучение времени реакции показало, что при ответе на вопрос 
“может ли канарейка петь?” оно больше, чем на вопрос, 
чем на вопрос “может ли канарейка летать?”.
 
Коллинс и Квиллиан объясняют эту разницу во времени ответа тем, 
что люди запоминают эту информацию на самом абстрактом уровне. 
Вместо того, чтобы запоминать конкретные свойства 
для каждой птицы люди запоминают, что канарейки – птицы, 
а птицы обычно имеют свойство летать. 

Даже более общие свойства, такие как питание, 
дыхание и движение запоминаются на уровне “животные”. 

Таким образом, попытка вспомнить, может ли канарейка дышать, 
занимает больше времени, чем вспоминание может ли канарейка летать. 
Это, конечно, происходит из-за того, что для получения ответа человек 
дольше должен путешествовать по иерархии памяти”.

Таким образом и несколько упрощая, 
канарайка - это животное, умеющее летать и петь.
... И тогда хранение операнда может находиться в одном месте мозга,
а функция, состоящая из двух подчастей, хранится даже в рахных местах.
... Тогда канарейка - это то, что связывает это все вместе 
путем связки "то же самое"
Возможно, этим связующим может быть даже один нейрон - 
нейрон "канарейки", который физическими или логическими ссылками 
в нейронной сети увязывает в одно "оператор от операнда".

P.S.

Но так же обстоит дело и при размещении файлов в компьютере.

То, что файл представляет из себя цельный объект, не означает, 
что физически он обязательно расположен в одном месте.
Можно реализовать (физически) файл как связанный список блоков,
где каждый блок состоит как из самих данных, так и указателя в памяти, 
указывающий где следующий блок данных расположен.
А можно сделать и по другому: разместить отдельно блоки с данными
и блок с указателями, указывающими где эти блоки с данными расположены.

Усложним. Классы в объектно ориентированном программировании
описываются (упрощенно) следующим образом 
(где значком плюс и минус помечены доступные всем 
и не доступные всем члены класса):

Класс 
{
+ класс.функция-А
- класс.функция-В
}

Так, SVO (субъект, сказуемое, объект) в примере "Ты щекотать Я"
можно представить как:
Субъект - "Ты.щекотать(кого-то)" с доступной функцией членом.
Объект - "Я.щекотаться(кем-то)" с доступной функцией членом.

И, соответственно (с точки зрения хранения), например, 
Субъект "Ты.щекотать(кого-то)"
как один логический объект может храниться в разных местах.
Отдельно может храниться "ты" 
и отдельно может храниться "щекотать".

P.S.

Возможно, наиболее сложный вопрос, 
на который предстоит ответить:
как среди огромного множества отдельностей
(как параллельно, так и последовательно идущих)
мышление способно вычленять законы  
(однозначно замкнутые преобразования) этого мира?

Процитирую Турчина (Феномен науки):
«Если термин «абстрактное» понимать 
как отвлеченное от несущественных признаков 
(а именно такое понимание является нормой и принято, 
в частности, в настоящей книге), 
то это утверждение не выдерживает ни малейшей критики. 
Мы видели, что решающее отличие мышления человека состоит 
в наличии управления ассоциациями, 
которое в первую очередь проявляется как способность к воображению. 
Что же касается различия в понятиях, 
то оно во всяком случае не сводится к противопоставлению: 
абстрактное-конкретное. Всякое понятие абстрактно. 
Понятие кошка для собаки является абстрактным, ибо содержит, 
например, отвлечение от расцветки кошки (несущественный признак). 
Если измерять умственные способности степенью абстрактности понятий, 
то лягушка окажется одним из самых умных животных, 
ибо она мыслит с помощью всего-навсего двух, 
но зато чрезвычайно абстрактных понятий: 
«нечто маленькое и быстро движущееся» и «нечто большое, 
темное и не очень быстро движущееся».

Это означает, что понимание идет от абстрактного к конкретному.
И это так же означает, что чтобы понять, например, А
(если это А определяется как ... А=С(H(D))...),
нужно прежде понять В и С, где В=H(D).
А это, в свою очередь, означает, что мы думаем как-то так:
«D? Да. H(D)? Да. С(H(D))? Да, это А».
Упрощенно, такой процесс рапознавания 
напоминает игру «тепло/холодно», позволяющий определить 
сложное через ограниченное число простых правил.
... Кто знаком с пресуппозициями, того такой подход не удивит.

Означает ли это (= от абстрактного к конкретному),
что обратное направление мышления невозможно?
Разумеется, не означает. Но речь, ведь, идет о том,
как мышление возникает «из ничего». А возникнув,
уже способно не только от «абстрактного к конкретному»,
но  и от «конкретного к абстрактому».